本研究は、衝撃波理論と確率的勾配降下法（SGD）の学習ダイナミクスの間に数学的な明確な関連性を構築するものです。微分幾何学、リー群論、流体力学の手法を組み合わせることで、パラメータの対称性を考慮した新しい理論的枠組みが提案されています。 研究の中核は、パラメータの対称性を商化し、局所エントロピー粗粒化を適用した後、有効なダイナミクスが商多様体上の粘性ハミルトン・ヤコビ方程式に従うことを示すことです。さらに、生のパラメータダイナミクスが商化された空間上の勾配場で要約できるという仮定の下では、粗粒化された損失関数の勾配がバーガース型方程式に従い、衝撃形成を厳密に確立できることを明らかにしています。 この理論をマルチレイヤーパーセプトロン、畳み込みニューラルネットワーク、トランスフォーマー、平均場ネットワークなど複数のアーキテクチャに適用した結果、それらがハミルトン・ヤコビ方程式またはバーガース型方程式に従うことが実証されました。これにより、深層学習の実践的な診断手法としての活用可能性が示唆されています。 特にトランスフォーマーなどのアーキテクチャでは、生のパラメータノルムが対称性冗長性によってしばしば歪められ、誤解を招く可能性があります。本研究で提案される対称性補正された商観測量は、訓練段階の遷移の監視、予測、制御のための原理的な根拠を提供し、より適切な深層学習の最適化につながることが期待されています。