信号処理において、畳み込み演算は様々な応用で中核的な役割を果たします。本研究は、円形畳み込みと二値畳み込みの計算効率に関わる理論的な問題に取り組んでいます。従来、円形畳み込みはFFTで計算した離散フーリエ変換（DFT）を用いて、二値畳み込みはアダマール変換を用いることで、いずれもO(N log N)の時間複雑度で実現できることが知られていました。アダマール変換は実数値の符号反転という利点がありながら、DFTの代替として使用する際には代数的誤差が生じるという課題がありました。 本論文では、この代替による誤差の特性を明らかにする3つの相補的な結果を提示しています。第一に、完全なエラー相殺の存在を特定しており、入出力の特定の2つの位置は普遍的に誤差がなく、出力の再配列によってもこの誤差を完全には排除できないことを示しています。第二に、誤差演算子はほぼ完全ランクを持ちながら、その零空間はわずか対数次元しか持たないということです。 さらに重要な発見として、期待値としての誤差は単一の整列スカラーによって支配され、ランダムなフィルタで平均化することで閉形式の表現を得られることが示されています。一般的には、代替誤差は出力エネルギーを漸近的に2倍にしますが、普遍的なゼロエラー部分空間内のフィルタについては誤差が発生しません。これらの結果を総合すると、代替誤差は構造化されており、予測可能であり、整列パラメータによって支配されていることが明らかになります。この研究は、信号処理アルゴリズムの精度向上と最適化に重要な理論的基礎を提供するものです。