本論文は、正規化された離散多項式フーリエ拡張において、ノイズ成形一ビット係数の理論的性質を詳細に研究した報告である。シグマデルタ量子化は、アナログ信号をデジタル信号に変換する際に用いられる重要な技術であり、本研究はその誤差特性を数学的に厳密に解析している。 一次シグマデルタ量子化の場合、誤差は$e_k=u_k-q_k=\Delta v_k$と表現され、状態は一様に有界であることが示されている。離散部分積分を用いた解析により、複雑な重み関数に対する変動推定が可能になり、コンパクトなパラメータ集合上での近似率が$O(N^{-1})$に達することが証明された。特に放物線位相$\phi_{x,t}(\xi)=x\xi+t\xi^2$を対象とした場合、誤差上界は$J(x,t)=\int_0^1 |x+2t\xi|d\xi$を通じて表現され、一様な$N^{-1}$レートが許容される入力クラス上で最適であることが示されている。 高次の有限記録恒等式についても、すべての端点トレース情報を保持しながら導出された。端点互換性条件が満たされるか明示的な境界補正が適用される場合、$r$次ノイズ成形誤差$e=\Delta^r v$は、十分に滑らかな重み関数に対して$O(N^{-r})$の減衰を示し、$C^{r-1,\alpha}$クラスの重み関数に対しては$O(N^{-(r-1+\alpha)})$の減衰が得られる。さらに、厳密な$L^2$直交性恒等式、4次モーメント公式、局所カーネル推定、振動伝達特性なども確立されている。本研究の成果は、多項式位相、多次元パラメータ族、成長する観測領域、および相関状態モデルへの拡張を含む、幅広い応用可能性を示唆している。