ウルトラメトリックは、非類似度行列（距離行列）の木構造的な要約を表現する数学的概念であり、単一連結クラスタリングによって導かれるものとして等価に生じます。本研究は、部分優位ウルトラメトリックに対する新しい安定性理論を提案しています。従来の安定性理論はℓ∞ノルムやグロモフ-ハウスドルフ距離を用いて定式化されてきましたが、これらの枠組みは、わずかな距離値の変更という疎な摂動に対しては適切な限界を提供していません。 本論文の主要な貢献は、この演算子に対するℓ0型安定性理論の構築です。分析によれば、疎な編集（距離値の変更）は最小全域木（MST）を通じてのみ伝播することが示されました。つまり、ペアごとのウルトラメトリック値が変化するのは、その木経路が編集されたエッジ、または編集済みの非木エッジによって新たに露出したカットを通る場合に限定されます。この性質から、編集ごとの露出カットスコアと木のみのグローバルエンベロープが導出され、ウルトラメトリック値が変化する数に関するハミング-リプシッツ限界を得ることができます。 研究では、この木構造への依存性が本質的に避けられないことを示すシャープネス結果も証明しています。厳密なカット分離条件下では木エッジ限界が正確に達成され、非木エッジの編集については、単一の編集された距離がO(n²)個のウルトラメトリック値を変化させる明示的な族が存在することが示されました。さらに、複数の編集に対する条件付き準加法性原理も証明されており、認定された大きいペアごとの変更領域と無視可能な集約的重複という条件下で成立します。 深い埋め込みグラフ上での実験により、得られた構造スコアが階層的表現の脆弱性診断に有用であることが実証されました。これらの結果は、機械学習における階層的クラスタリングの堅牢性評価に実践的な応用を持つ可能性を示唆しています。